附录 C、SVM 对偶问题

为了理解对偶性，你首先得理解拉格朗日乘子法。它基本思想是将一个有约束优化问题转化为一个无约束优化问题，其方法是将约束条件移动到目标函数中去。让我们看一个简单的例子，例如要找到合适的 $x$ 和 $y$ 使得函数 $f(x, y) = x^2 + 2y$ 最小化，且其约束条件是一个等式约束： $3x + 2y + 1 = 0$ 。使用拉格朗日乘子法，我们首先定义一个函数，称为拉格朗日函数： $g(x, y, \alpha) = f(x, y) - \alpha(3x + 2y + 1)$ 。每个约束条件（在这个例子中只有一个）与新的变量（称为拉格朗日乘数）相乘，作为原目标函数的减数。

Joseph-Louis Lagrange 大牛证明了如果 $(\bar{x}, \bar{y})$ 是原约束优化问题的解，那么一定存在一个 $\bar{\alpha}$ ，使得 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{\alpha})$ 是拉格朗日函数的驻点（驻点指的是，在该点处，该函数所有的偏导数均为 0）。换句话说，我们可以计算拉格朗日函数 $g(x, y, \alpha)$ 关于 $x, y$ 以及 $\alpha$ 的偏导数；然后我们可以找到那些偏导数均为 0 的驻点；最后原约束优化问题的解（如果存在）一定在这些驻点里面。

在上述例子里，偏导数为

$\begin{align}\frac{\partial}{\partial x}g(x, y, \alpha) = 2x - 3\alpha \ \frac{\partial}{\partial y}g(x, y, \alpha) = 2 - 2\alpha \ \frac{\partial}{\partial \alpha}g(x, y, \alpha) = -3x - 2y - 1 \end{align}$

当这些偏导数均为 0 时，即 $2x − 3\alpha = 2 − 2\alpha = − 3x − 2y − 1 = 0$ ，即可得 $x = \frac{3}{2}, y=-\frac{11}{4}, \alpha=1$ 。这是唯一一个驻点，那它一定是原约束优化问题的解。然而，上述方法仅应用于等式约束，幸运的是，在某些正则性条件下，这种方法也可被一般化应用于不等式约束条件（例如不等式约束， $3x + 2y + 1 \geq 0$ ）。如下公式 C-1 ，给了 SVM 硬间隔问题时的一般化拉格朗日函数。在该公式中， $\alpha^{(i)}$ 是 KKT 乘子，它必须大于或等于 0。

译者注

$\alpha^{(i)}$ 是 $\geq0$ 抑或 $\leq0$ ，取决于拉格朗日函数的写法，以及原目标函数函数最大化抑或最小化。

公式C-1

就像拉格朗日乘子法，我们可以计算上述式子的偏导数、定位驻点。如果该原问题存在一个解，那它一定在驻点 $(\bar{w}, \bar{b}, \bar{\alpha})$ 之中，且遵循 KKT 条件：

遵循原问题的约束： $t^{(i)}((\bar{w})^T x^{(i)} +\bar{b}) \geq 1$ , 对于 $i = 1, 2, ..., m$
遵循现问题里的约束，即 $\bar{\alpha}^{(i)} \geq 0$
$\bar{\alpha}^{(i)} = 0$ 或者第i个约束条件是积极约束，意味着该等式成立： $t^{(i)}((\bar{w})^T x^{(i)} +\bar{b}) = 1$ 。这个条件叫做互补松弛条件。它暗示了 $\bar{\alpha}^{(i)} = 0$ 和第i个样本位于 SVM 间隔的边界上（该样本是支持向量）。

注意 KKT 条件是确定驻点是否为原问题解的必要条件。在某些条件下，KKT 条件也是充分条件。幸运的是，SVM 优化问题碰巧满足这些条件，所以任何满足 KKT 条件的驻点保证是原问题的解。

我们可以计算上述一般化拉格朗日函数关于w和b的偏导数，如公式 C-2。

公式C-2

令上述偏导数为 0，可得到公式 C-3。

公式C-3

如果我们把上述式子代入到一般化拉格朗日函数（公式 C-1）中，某些项会消失，从而得到公式 C-4，并称之为原问题的对偶形式。

公式C-4

现在该对偶形式的目标是找到合适的向量 $\bar{\alpha}$ ，使得该函数 $L(w, b, \alpha)$ 最小化，且 $\bar{\alpha}^{(i)} \geq 0$ 。现在这个有约束优化问题正是我们苦苦追寻的对偶问题。

一旦你找到了最优的 $\bar{\alpha}$ ，你可以利用公式 C-3 第一行计算 $\bar{w}$ 。为了计算 $\bar{b}$ ，你可以使用支持向量的已知条件 $t^{(i)}((\bar{w})^T x^{(i)} +\bar{b}) = 1$ ，当第 k 个样本是支持向量时（即它对应的 $\alpha_k > 0$ ），此时使用它计算 $\bar{b} =1-t^{(k)}((\bar{w})^T . x^{(k)})$ 。对了，我们更喜欢利用所有支持向量计算一个平均值，以获得更稳定和更准确的结果，如公式 C-5。